Bilimin Öncüleri: Euclides (Öklid)

Rönesans sonrası Avrupa’da, Kopernik’le başlayan, Kepler, Galileo ve Newton’la 17. yüzyılda doruğuna ulaşan bilim­sel devrim, kökleri Helenistik Dönem’e uzanan bir olaydır.

O dönemin seçkin bilginlerinden Aristarkus, Güneş-merkezli ast­ronomi düşüncesinde Kopernik’i öncelemişti; Arşimet yaklaşık i­ki binyıl sonra gelen Galileo’ya esin kaynağı olmuştu; Öklid çağlar boyu yalnız matematik dünyasının değil, matematikle yakından ilgilenen hemen herkesin gözünde özenilen, yetkin bir örnekti.

Öklid, MÖ 300 sıralarında yazdığı 13 ciltlik yapıtıyla ünlüdür. Bu yapıt, geometriyi (dolayısıyla matematiği) ispat bağlamında aksiyomatik bir dizge olarak işleyen, ilk kapsamlı çalışmadır. 19. yüzyıl sonlarına gelinceye kadar alanında tek ders kitabı olarak akademik çevrelerde okunan, okutulan Elementler’in, kimi yeter­sizliklerine karşın, değerini bugün de sürdürdüğü söylenebilir.

Egeli matematikçi Öklid’in kişisel yaşamı, aile çevresi, ma­tematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir.

Bilinen tek şey; İskenderiye Kraliyet Enstitü­sü’nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır. Eğitimini Atina’da Platon’un (MÖ 428/427 – 348/347) ünlü akademisinde tamam­ladığı sanılmaktadır.

O akademi ki giriş kapısında, “Geometriyi bilmeyen hiç kimse bu kapıdan içeri alınmaz!” levhası asılıydı.

Öklid’in bilimsel kişiliği, unutulmayan iki sözünde yansımak­tadır: Dönemin kralı I. Ptolemy, okumada güçlük çektiği Ele­mentler’in yazarına, “Geometriyi kestirmeden öğrenmenin yolu yok mu?” diye sorduğunda, Öklid “Özür dilerim, ama geomet­riye giden bir kral yolu yoktur” der.

Bir gün dersini bitirdiğinde öğrencilerinden biri yaklaşır, “Hocam, verdiğiniz ispatlar çok güzel; ama pratikte bunlar neye yarar?” diye sorduğunda, Öklid kapıda bekleyen kölesini çağırır, “Bu delikanlıya 5-10 kuruş ver, vaktinin boşa gitmediğini görsün!” demekle yetinir.

Egeli matematikçi Öklid’in kişisel yaşamı, aile çevresi, matematik dışı uğraş veya meraklarına ilişkin hemen hiçbir şey bilinmemektedir. Bilinen tek şey; İskenderiye Kraliyet Enstitüsü’nde dönemin en saygın öğretmeni; alanında yüzyıllar boyu eşsiz kalan bir ders kitabının yazarı olmasıdır.

Öklid haklı olarak “geometrinin babası” diye bilinir; ama ge­ometri onunla başlamış değildir. Tarihçi Herodotus (MÖ 500) geometrinin başlangıcını, Nil Vadisi’nde yıllık su taşmalarından sonra arazi sınırlarını belirlemekle görevli kadastrocuların ça­lışmalarında bulmuştu.

Geometri “yer” ve “ölçme” anlamına gelen “geo” ve “metrein” sözcüklerinden oluşan bir terimdir. Mısır’ın yanı sıra Babil, Hint ve Çin gibi eski uygarlıklarda da gelişen geometri o dönemlerde büyük ölçüde, el yordamı, ölç­me, analoji ve sezgiye dayanan bir yığın işlem ve bulgudan iba­ret çalışmalardı.

Üstelik ortaya konan bilgiler çoğunlukla kesin olmaktan uzak, tahmin çerçevesinde kalan sonuçlardı. Örneğin, Babilliler dairenin çemberini çapının üç katı olarak biliyorlardı. Bu öylesine yerleşik bir bilgiydi ki; pi’nin değerinin 3 değil, 22/7 olduğunu ileri sürenlere, bir tür şarlatan gözüyle bakılıyordu.

Mısırlılar bu konuda daha duyarlıydılar: MÖ 1800 yıllarına ait Rhind papürüslerinde onların pi’yi yaklaşık 3.1604 olarak belir­ledikleri görülmektedir; ama Mısırlılar’ın bile her zaman doğru sonuçlar ortaya koyduğu söylenemez. Nitekim, kesik kare pira­midin oylumunu (hacmini) hesaplamada doğru formülü bulan Mısırlılar, dikdörtgen için doğru olan bir alan formülünün, tüm dörtgenler için geçerli olduğunu sanıyorlardı.

Aritmetik ve cebir alanında Babilliler, Mısırlılar’dan daha ilerdeydiler. Geometride de önemli buluşları vardı. Örneğin, “Pythagoras Teoremi” dediğimiz, bir dik açılı üçgende dik ke­narlarla hipotenüs arasındaki bağıntıya ilişkin önerme “Bir dik üçgenin dik kenar karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir” buluşlarından biriydi.

Ne var ki, doğru da olsa bu bilgiler ampirik nitelikteydi; mantıksal ispat aşamasına geçilememişti henüz. Egeli Filazof Thales’in (MÖ 624-546), geometrik öner­melerin dedüktif yöntemle ispatı gereğini ısrarla vurguladığı, bu yolda ilk adımları attığı bilinmektedir.

Mısır gezisinde tanıştığı geometriyi, dağınıklıktan kurtarıp, tutarlı, sağlam bir temele oturtmak istiyordu, ispatladığı önermeler arasında; ikizkenar üçgenlerde taban açılarının eşitliği; kesişen iki doğrunun oluş­turduğu karşıt açıların birbirine eşitliği vb. ilişkiler vardı.

Klasik Çağ’ın “Yedi Bilgesi”nden biri olan Thales’in açtığı bu yolda, Pythagoras ve onu izleyenlerin elinde, matematik bü­yük ilerlemeler kaydetti, sonuçta Elementler’de işlenildiği gibi, oldukça soyut mantıksal bir dizgeye ulaştı. Pythagoras, mate­matikçiliğinin yanı sıra, sayı mistisizmini içeren gizliliğe bağlı bir tarikatın önderiydi. Buna göre, sayısallık evrensel uyum ve düzenin asal niteliğiydi; ruhun yücelip Tanrısal kata erişmesi ancak müzik ve matematikle olasıydı.

Buluş ve ispatlarıyla matematiğe önemli katkılar yapan Pytha­gorasçılar, sonunda inançlarıyla ters düşen bir buluşla açmaza düştüler. Bu buluş, karenin kenarı ile köşegenin ölçüştürüle­meyeceğine ilişkindi. Å2 gibi, bayağı kesir şeklinde yazılamayan sayılar, onların gözünde gizli tutulması gereken bir skandaldı.

Rasyonel olmayan sayılarla temsile elveren büyüklükler nasıl olabilirdi? [Pythagorasçılar’ın tüm çabalarına karşın üstesinden gelemedikleri bu sıkıntıyı, daha sonra tanınmış bilgin Eudoxus (MÖ 408 – 347), oluşturduğu irrasyonel büyüklükler için de ge­çerli olan, Orantılar Kuramı’yla giderir.]

Öklid, Pythagoras geleneğine bağlı bir ortamda yetişmişti. Platon gibi, onun için de önemli olan soyut düşünceler, dü­şünceler arasındaki mantıksal bağıntılardı. Duyumlarımızla içine düştüğümüz yanlışlıklardan, ancak matematiğin sağladığı evrensel ilkeler ve salt ussal yöntemlerle kurtulabilirdik.

Kaleme aldığı Elementler, kendisini önceleyen Thales, Pythagoras, Eudo­xus gibi, bilgin-matematikçilerin çalışmaları üstüne kurulmuş­tu. Geometri bir önermeler koleksiyonu olmaktan çıkmış, sıkı mantıksal çıkarım ve bağıntılara dayanan bir dizgeye dönüşmüş­tü.

Artık önermelerin doğruluk değeri, gözlem veya ölçme veri­leriyle değil, ussal ölçütlerle denetlenmekteydi. Bu yaklaşımda pratik kaygılar ve uygulamalar arka plana itilmişti.

Kuşkusuz bu, Öklid geometrisinin pratik problem çözümüne elvermediği demek değildi. Tam tersine, değişik mühendislik alanlarında pek çok problemin, bu geometrinin yöntemiyle çözümlendiği; ama Elementler’in, eğreti olarak değindiği bazı örnekler dışında, uygulamalara yer vermediği de bilinmektedir.

Öklid’in pratik kaygılardan uzak olan bu tutumunun matematik dünyasındaki izleri, bugün de rastladığımız bir geleneğe dönüş­müştür.

Gerçekten, özellikle seçkin matematikçilerin gözünde, mate­matik şu ya da bu işe yaradığı için değil, yalın gerçeğe yönelik, sanat gibi güzelliği ve değeri kendi içinde soyut bir düşün uğraşı olduğu için önemlidir.

Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir?

Matematiğin tümüyle ussal bir etkinlik olduğu doğru değildir. Buluş bağlamında tüm diğer bilimler gibi matematik de, sınama-yanılma, tahmin, sezgi, içe-doğuş türünden öğeler içermektedir. Yeni bir bağıntıyı sezinleme, değişik bir kavram veya yöntemi ortaya koyma, temelde mantıksal olmaktan çok psikolojik bir olaydır. Matematiğin ussallığı, doğrulama bağlamında belir­gindir.

Teoremlerin ispatı, büyük ölçüde kuralları belli, ussal bir işlemdir; ama sorulabilir: Öklid neden, geometrinin ölçme sonuçlarıyla doğrulanmış önermeleriyle yetinmemiş, bunları ispatlayarak, mantıksal bir dizgede toplama yoluna gitmiştir?

Öklid’i bu girişiminde, onu güdümleyen motiflerin ne oldu­ğunu söylemeye olanak yoktur; ancak, Helenistik Çağ’ın düşün ortamı göz önüne alındığında, başlıca dört noktanın öngörüldü­ğü söylenebilir:

1) İşlenen konuda çoğu kez belirsiz kalan anlam ve ilişkilere açıklık getirmek;

2) İspatta başvurulan öncülleri (varsayım, aksiyom veya pos­tulatları) ve çıkarım kurallarını belirtik kılmak;

3) Ulaşılan sonuçların doğruluğuna mantıksal geçerlik kazan­dırmak (Başka bir deyişle, teoremlerin öncüllere göreceli zorun­luluğunu, yani öncülleri doğru kabul ettiğimizde teoremi yanlış sayamayacağımızı göstermek);

4) Geometriyi, ampirik genellemeler düzeyini aşan soyut-sim­gesel bir dizge düzeyine çıkarmak (Bir örnekle açıklayalım: Mı­sırlılar ile Babilliler kenarları 3, 4, 5 birim uzunluğunda olan bir üçgenin, dik üçgen olduğunu deneysel olarak biliyorlardı; ama bu ilişkinin 3, 4, 5 uzunluklarına özgü olmadığını, başka uzunluklar için de geçerli olabileceğini gösteren veriler ortaya çıkıncaya dek kestirmeleri güçtü; buna ihtiyaçları da yoktu.

Öyle kuramsal bir açılma için pratik kaygılar ötesinde, salt entelektüel motifli bir arayış içinde olmak gerekir. Nitekim, Egeli bilginler somut ör­nekler üzerinde ölçmeye dayanan belirlemeler yerine, bilinen ve bilinmeyen tüm örnekler için geçerli soyut genellemeler arayışın­daydılar.

Onlar, kenar uzunlukları a, b, c diye belirlenen üçgeni ele almakta, üçgenin ancak a2 + b2 = c2 eşitliği gerçekleştiğinde dik üçgen olabileceği genellemesine gitmektedir).

Öklid oluşturduğu dizgede birtakım tanımların yanı sıra, beşi “aksiyom” dediği genel ilkeden, beşi de “postulat” dediği geometri­ye özgü ilkeden oluşan, 10 öncüle yer vermiştir. (Öncüller, teorem­lerin tersine ispatlanmaksızın doğru sayılan önermelerdir.)

Dizge tüm yetkin görünümüne karşın, aslında çeşitli yönlerden birtakım yetersizlikler içermekteydi. Bir kez verilen tanımların bir bölümü (özellikle, “nokta”, “doğru”, vb. ilkel terimlere ilişkin tanımlar) gereksizdi. Sonra daha önemlisi, belirlenen öncüller dışında bazı varsayımların, belki de farkında olmaksızın kullanılmış olması, dizgenin tutarlılığı açısından önemli bir kusurdu.

Ne var ki, ma­tematiksel yöntemin oluşma içinde olduğu başlangıç döneminde, bir bakıma kaçınılmaz olan bu tür yetersizlikler, giderilemeyecek şeyler değildi. Nitekim, 18. yüzyılda başlayan eleştirel çalışmaların dizgeye daha açık ve tutarlı bir bütünlük sağladığı söylenebilir.

Üstelik dizgenin irdelenmesi, beklenmedik bir gelişmeye de yol açmıştır: Öncüllerde bazı değişikliklerle yeni geometrilerin ortaya konması. “Öklid-dışı” diye bilinen bu geometriler, sağduyumuza aykırı da düşseler, kendi içinde tutarlı birer dizgedir. Öklid geo­metrisi, artık var olan tek geometri değildir. Öyle de olsa, Öklid’in düşünce tarihinde tuttuğu yerin değiştiği söylenemez.

Çağımızın seçkin filozofu Bertrand Russell’ın (1872 – 1970) şu sözlerinde Öklid’in özlü bir değerlendirmesini bulmaktayız: “Elementler’e bugüne değin yazılmış en büyük kitap gözüyle ba­kılsa yeridir. Bu kitap gerçekten Grek zekâsının en yetkin anıt­larından biridir.

Kitabın Grekler’e özgü kimi yetersizlikleri yok değildir, kuşkusuz: dayandığı yöntem salt dedüktif niteliktedir; üstelik, öncüllerini oluşturan varsayımları yoklama olanağı yok­tur. Bunlar kuşku götürmez apaçık doğrular olarak konmuştur. Oysa, 19. yüzyılda ortaya çıkan Öklid-dışı geometriler, bunların hiç değilse bir bölümünün yanlış olabileceğini, bunun da ancak gözleme başvurularak belirlenebileceğini göstermiştir.”

Gene genel rölativite kuramında Öklid geometrisini değil, Riemann (1826 – 1866) geometrisini kullanan Einstein’ın, Elementler’e ilişkin yargısı son derece çarpıcıdır: “Gençliğinde bu kitabın büyüsüne kapılmamış bir kimse, kuramsal bilimde önemli bir atılım yapabileceği hayaline boşuna kapılmasın!”

Kaynak: Cemal Yıldırım, Bilimin Öncüleri, Bilim ve Gelecek Kitaplığı, 2014, s.58-63

(Bilim ve Gelecek. 23 Haziran 2019)